Home / Luận văn thạc sĩ / Luận văn: Một số lớp bài toán về phương trình hàm, HAY, 9đ

Luận văn: Một số lớp bài toán về phương trình hàm, HAY, 9đ

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta chỉ trình bày các định nghĩa, tính chất cơ bản liên quan đến hàm số phục vụ cho các bài toán được trình bày trong các chương sau. Ta quan tâm đến các hàm số f(x) với tập xác định D(f) ⊆ R và tập giá trị R(f) ⊆ R. 1.1 Hàm số liên tục 1.1.1 Định nghĩa về hàm số liên tục Định nghĩa 1.1. Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a,b) ⊂ R và x0 ∈ (a,b). Ta nói f(x) là hàm liên tục tại x0 nếu với mọi dãy số {xn}∞ n=1, xn ∈ (a,b) sao cho lim n→+∞ xn = x0 ta đều có lim n→+∞ f(xn) = f(x0). Định nghĩa này tương đương với định nghĩa sau: Định nghĩa 1.2. Hàm f(x), xác định trên (a;b), được gọi là liên tục tại x0 ∈ (a,b) nếu lim x→x0 f(x) = f(x0). Điều này có nghĩa ∀ε > 0 tồn tại δ(ε), chỉ phụ thuộc vào ε, sao cho ∀x : |x − x0| < δ thì |f(x)− f(x0)| < ε. Hàm số không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm x0. Định nghĩa 1.3. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng hoặc R. Ta nói hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó. Định nghĩa 1.4. Hàm số f xác định trên đoạn [a,b] được gọi là liên tục trên đoạn [a,b] nếu nó liên tục trên khoảng (a,b) và lim x→a+ f(x) = f(a), lim x→b− f(x) = f(b). 1
7. 1.1.2 Tính chất của hàm số liên tục Ở mục trên, ta đã có các cách để xác định một hàm số liên tục. Tuy nhiên việc sử dụng các định nghĩa đó không phải lúc nào cũng đơn giản. Do vậy, người ta đã chứng minh được các tính chất rất hữu ích, giúp ta xác định nhanh hàm số liên tục, như sau: 1. Các hàm số sơ cấp cơ bản như: hàm lũy thừa, hàm căn thức, hàm lượng giác, hàm số mũ, hàm logarit,… là các hàm số liên tục trên miền xác định của nó. 2. Giả sử f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên D ∈ R. Khi đó (f +g)(x) = f(x)+g(x), (f ◦g)(x) = f[g(x)] là các hàm liên tục trên D. 3. Giả sử g(x) = 0, ∀x ∈ R. Khi đó f(x) g(x) cũng là hàm liên tục. Trong trường hợp ngược lại thì nó liên tục trên tập xác định của nó. Một số tính chất quan trọng khác của hàm số liên tục: Định lý 1.1. (Định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục) Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a,b]. Nếu f(a) = f(b) thì với mọi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a,b) sao cho f(c) = M. Mệnh đề 1.1. Giả sử f(x), g(x) là hai hàm xác định và liên tục trên R. Khi đó nếu f(x) = g(x), ∀x ∈ Q thì ta có f(x) ≡ g(x) trên R. Chứng minh. Với mỗi x ∈ R, ta xét dãy số hữu tỉ sn, n ∈ N thỏa mãn lim n→+∞ sn = x. Do f(r) = g(r), ∀r ∈ Q, nên f(sn) = g(sn), ∀n ∈ N. Lấy giới hạn hai vế khi n → +∞, với chú ý f(x), g(x) là các hàm liên tục, ta có lim n→+∞ f(sn) = lim n→+∞ g(sn) ⇒ f( lim n→+∞ sn) = g( lim n→+∞ sn) ⇒ f(x) = g(x). Vậy với x ∈ R bất kì ta có f(x) = g(x). Hay f(x) = g(x), ∀x ∈ R (ĐPCM) . Nhận xét: Trong mệnh đề trên ta có thể thay giả thiết f(x) = g(x), ∀x ∈ Q bằng giả thiết f(x) = g(x), ∀x ∈ A, trong đó A là tập hợp trù mật trong R bất kì. Với định nghĩa về tập hợp trù mật như sau: Định nghĩa 1.5. Tập A ∈ R được gọi là tập trù mật trong R nếu và chỉ nếu ∀x,y ∈ R, x < y thì đều tồn tại a ∈ A sao cho x < a < y. Ví dụ 1.1. 1. Q là tập trù mật trong R. 2. Giả sử 2 ≤ p ∈ N. Tập A = { m pn |m ∈ Z,n ∈ N} trù mật trong R. 2 8. 1.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ Định nghĩa 1.6. Xét hàm số f(x) với tập xác định D(f) ⊆ R và tập giả trị R(f) ⊆ R. Khi đó: (i). f(x) được gọi là hàm số chẵn trên M, M ⊂ D(f) nếu ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và f(−x) = f(x), ∀x ∈ M. (ii). f(x) được gọi là hàm số lẻ trên M, M ⊂ D(f) nếu ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và f(−x) = −f(x), ∀x ∈ M. 1.3 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn Định nghĩa 1.7. Hàm số f(x) được gọi là hàm tuần hoàn (cộng tính) chu kì a, a > 0 trên M, M ∈ D(f) nếu với mọi x ∈ M thì ta có x±a ∈ M và f(x+a) = f(x), ∀x ∈ M. Số thực T > 0 nhỏ nhất (nếu có) thỏa mãn f(x+T) = f(x), ∀x ∈ M được gọi là chu kì cơ sỏ của hàm số tuần hoàn f(x). Định nghĩa 1.8. Hàm số f(x) được gọi là phản tuần hoàn (cộng tính) chu kì b, b > 0 trên M, M ∈ D(f) nếu với mọi x ∈ M thì ta có x±b ∈ M và f(x+b) = −f(x), ∀x ∈ M. Ví dụ 1.2. (IMO 1968) Cho số thực a. Giả sử hàm f : R → R thỏa mãn f(x+a) = 1 2 + f(x)−[f(x)]2, ∀x ∈ R. Chứng minh rằng f(x) là hàm tuần hoàn. Lấy ví dụ hàm f trong trường hợp a = 1. Giải. Giả sử f là hàm cần tìm. Ta thấy rằng 1 2 ≤ f(x) ≤ 1, ∀x ∈ R. Đặt f(x)− 1 2 = g(x), ∀x ∈ R. Khi đó 0 ≤ g(x) ≤ 1 2 , ∀x ∈ R và ta có g(x+a) = 1 4 −[g(x)]2, ∀x ∈ R. Hay là [g(x+a)]2 = 1 4 −[g(x)]2. Suy ra [g(x+2a)]2 = 1 4 −[g(x+a)]2 = [g(x)]2 ⇒ g(x+2a) = g(x), ∀x ∈ R. Do đó f(x+2a) = f(x), ∀x ∈ R, hay f(x) là hàm tuần hoàn. Với a = 1 dễ dàng kiểm chứng hàm f(x) = 1 2 |sin π 2 x|+ 1 2 , ∀x ∈ R thỏa mãn bài toán. 3

MÃ TÀI LIỆU:3591

 

  • PHÍ TÀI LIỆU: 25.000
  • ĐỊNH DẠNG: WORD+PDF
  • THANH TOÁN QUA MOMO, CHUYỂN KHOẢN, THẺ CÀO ĐIỆN THOẠI (X2)
  • NỘI DUNG: MÃ TÀI LIỆU – EMAIL NHẬN ( VÍ DỤ: 0324 – trinhnam34gmailcom) có thể bỏ chữ @ mới gửi được)
  • CHECK EMAIL (1-15 PHÚT)

  • Đăng nhập MOMO
  • Quét mã QR
  • Nhập số tiền
  • Nội dung: Mã Tài liệu – Email 
  • Check mail (1-15p)

  • Mua thẻ cào chỉ Viettel,  Vinaphone
  • Mệnh giá gấp 2 phí tài liệu (vì phí nhà mạng 50%) 
  • Add Zalo 0932091562
  • Nhận file qua zalo, email

  • Đăng nhập Internet Mobile
  • Chuyển tiền
  • Nhập số tiền
  • Nội dung: Mã Tài liệu – Email
  • Check mail (1-15p)

NẾU CHỜ QUÁ 15 PHÚT CHƯA THẤY MAIL VUI LÒNG NHẮN ZALO: 0932091562

 

 

NHẬP TÀI LIỆU BẠN CẦN TÌM VÀO ĐÂY


Notice: Undefined index: hide_title in /home/cdmhewql/tailieumau.vn/wp-content/plugins/wp-google-search/wgs-widget.php on line 26

Notice: Undefined index: title in /home/cdmhewql/tailieumau.vn/wp-content/plugins/wp-google-search/wgs-widget.php on line 28

 

 

About Trang web mặc định

Check Also

Đề tài: Biện pháp nâng cao lợi nhuận tại Công ty cổ phần Đông Đô

LỜI NÓI ĐẦU 1. Tính cấpthiết của đề tài Việc chuyển mình từ nền kinh …

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *