Luận văn: Áp dụng của định lí điểm bất động vào bài toán Dirichlet

CH NG 1 KI N TH C CHU N 1.1. MHt s1 9Knh [,Da chung vG ph ‘n (1.1). Knh [,Da 1.2. Ph ng nh o m riêng (1.1) :c ,i tuy n nh n u 2 2 & ng ( ) ( ) k a x D u f xα α α ≤ = Trong 2 ( )a xα < ( )f x c m ‘ cho. Ph ng nh :c ,i tuy n nh thu n nh t n u 0f ≡ Ph ng nh o m riêng (1.1) :c ,i n a tuy n nh n u 2 2 & ng ( ) ( )1 0 , , , , 0k k a x D u a x u Du D uα α α − = + =
9. 9 Ph ng nh o m riêng (1.1) :c ,i t a tuy n nh n u 2 2 & ng ( ) ( )1 1 0, , , , , , , , 0k k k a x u Du D u D u a x u Du D uα α α − − = + = Ph ng nh o m riêng (1.1) :c ,i phi tuy n n u 2 C thu c không tuy n 5nh < o o m riêng b=c cao nh$t. 1.2. HHi /6 yBu Cho X không gian Banach Knh [,Da 1.3. U’y { }nu ch/a trong X :c ,i h i y u n u X∈ n u * * , ,nu u u u→ v3i >,i * * u X∈ NhYn U^t 1.1. 1. N u &’y { }nu h i n u &’y { }nu h i y u n u. 2. M t &’y h i y u &’y ch(n 3. N u { }nu h i y u n u liminf n n u u →∞ ≤ Knh 7L 1.1. Cho X không gian Banach n ( )( )* *X X= y { }nu ch n. Khi t n i m t y con { } { }kn nu u⊂ u X∈ sao cho { }knu h i y u n u. NhYn U^t 1.2. 1. M t &’y ch(n trong không gian Hilbert ch/a m t &’y con h i y u. 2. VWt ( )p X L= Ω ( )* q X L= Ω , 1 1 1 p q + = , 1 q< ≤ ∞ . M t phi m m tuy n 5nh ch(n f trên ( )p L Ω 2 th# :c bi#u di8n d 3i & ng f fgdx Ω , ( )q g L∈ Ω TN 2 nf h i y u n f thu c ( )p L Ω a : (1.2) ngf dx fgdx Ω Ω → , khi n → ∞ v3i >,i ( )q g L∈ Ω X ( )p L Ω không gian i ng4u a ( )q L Ω , do 2 ( )p L Ω C @n % n u 1 q< < ∞ . V=y tN mPi &’y ch(n trong ( )p L Ω v3i 1 p< < ∞ 2 th# 5ch ra m t &’y con h i y u Qa >’n (1.2). KhYng nh y r$t quan ,ng v 5nh compact. Knh 7L 1.2. !” s y { }nf y #$c m trong ( )p L Ω sao cho
10. 10 ( ) 0pn L f f Ω − → Khi t n i m t y con { } { }kn nf f⊂ sao cho: 1. knf f→ h.k.n trên Ω . 2. ( ) ( )knf x h x≤ v%i &’i k h.k.n trên Ω v%i ( )p h L∈ Ω . 1.3. Không gian Sobolev. Knh [,Da 1.4. (Không gian Sobolev) Không gian Sobolev ( ) ( ){ }: : ,k p pW u D u L kα αΩ = Ω → ∈ Ω ∀ ≤ NhYn U^t 1.3. 1. V3i 2p = , không gian ( ) ( )2 , 0,1,k k H W kΩ = Ω = không gian Hilbert. 2. ( ) ( )0 2 H LΩ ≡ Ω Knh [,Da 1.5. 1. N u ( )k pu W∈ Ω chuGn a u :c % c nh nh sau: ( ) 1 , 1 : sup , k p p p k W k D u dx p u ess D u p α α α α ≤ Ω Ω Ω≤ ≤ < ∞ = = ∞ 2. Cho &’y { }nu , ( )k pu W∈ Ω . Khi 2 { }nu :c ,i h i n u trong ( )k pW Ω n u ( ) lim 0k p n Wn u u Ω→∞ − = S5 hi+u nu u→ trong ( )k pW Ω . Knh 7L 1.3. 1. V%i m(i 1,2,k = 1 p≤ ≤ ∞ không gian Sobolev ( )k pW Ω không gian Banach. 2. Không gian Sobolev ( )k pW Ω không gian n n u # ) n u 1 p< < ∞ . H n n*a ( )2 k W Ω không gian Hilbert v%i ch vô h %ng 11. 11 ( )2 , k a W k u v D uD vdxα α Ω ≤ Ω = NhYn U^t 1.4. 1. Z,i bao 2ng a ( )0C∞ Ω trong ( )k pW Ω ( ) o k pW Ω . Khi 2 ( ) ( )0 o k pW C∞ Ω = Ω trong ( )k pW Ω ( ){ }: 0, 1k pu W D u kα α∂Ω = ∈ Ω = ∀ ≤ − 2. ( ) ( )0 2 o k k H WΩ = Ω Knh [,Da 1.6. Không gian +i ng,u a không gian ( )0 k H Ω :c 05 hi+u ( )k H − Ω . M t m ( )k f H − ∈ Ω n u f phi m m tuy n 5nh ch(n trên ( )0 k H Ω . Trong ph;n y ta xWt c nh ! .ng > trong 2 nh ! .ng Sobolev 2ng m t vai 1 quan ,ng. Knh [,Da 1.7. Z-@ s X < Y c không gian Banach. 1. X :c ,i – .ng liên c trong Y n u t*n i nh % tuy n 5nh :i X Y→ sao cho ( ) XY i x c x≤ , v3i x X∀ ∈ . v3i 0c > hMng s . Khi 2 ta *ng nh$t X v3i không gian con ( )i X Y⊂ . 2. X :c ,i – .ng compact < o Y n u nh % i bi n t=p con ch(n trong X nh t=p compact t ng i trong Y. Knh 7L 1.4. Cho N Ω ⊂ # o Lebesgue N ( )Ω < ∞ , 1 p q≤ ≤ < ∞ ( ) ( )q p L LΩ ⊂ Ω N u N ( )Ω = +∞ – i chung nh / không .ng. Knh 7L 1.5. !” s Ω mi0n compact t ng +i trong N k ∈ , 0 1α β≤ < ≤ . Khi ( ),k C β Ω – .ng liên c trong ( ),k C α Ω compact. Knh 7L 1.6. ( Knh 7L [D_ng Sobolev) !” s N Ω ⊂