Home / Luận văn thạc sĩ / Đề tài: Phương pháp tiếp cận nửa nhóm tuyến tính của phương trình

Đề tài: Phương pháp tiếp cận nửa nhóm tuyến tính của phương trình

Chương 1 Lý thuyết nửa nhóm toán tử Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về nửa nhóm và một số kết quả cần thiết cho chương 2 và chương 3. 1.1. Nửa nhóm liên tục mạnh và các tính chất Định nghĩa 1.1. Họ (T(t))t≥0 ⊂ L(X), X là không gian Banach gọi là nửa nhóm liên tục mạnh nếu: (i) T(t + s) = T(t).T(s), ∀t, s ≥ 0. (ii) T(0) = I toán tử đồng nhất. (iii) lim t→t+ 0 T(t)x = T(t0)x, ∀x ∈ X, ∀t0 ≥ 0. Chú ý 1.2. (i) Nếu (T(t))t≥0 ⊂ L(X) thỏa mãn các điều kiện với mọi t, s ∈ R ta có một nhóm liên tục mạnh. 6
7. (ii) Trong trường hợp nửa nhóm tại t0 = 0 xét giới hạn bên phải. Ví dụ 1.3. X là không gian Banach, A ∈ L(X). Khi đó T(t) = etA (t ≥ 0) là nửa nhóm liên tục mạnh. Chứng minh. Ta có T(t) = etA := ∞ n=0 (tA)n n! , t ≥ 0, vì ||tA)n || n! ≤ tn ||A||n n! và lim n→∞ tn+1 ||A||n+1 (n + 1)! : tn ||A||n n! = lim n→∞ t||A|| n + 1 = 0 < 1. Suy ra chuỗi ∞ n=0 ||(tA)n || n! hội tụ theo Dalambert. Nên ∞ n=0 (tA)n n! hội tụ trong L(X) (do hội tụ tuyệt đối −→ hội tụ trong L(X)). Ta có T(0) = I (quy ước 00 = I). Xét T(t)T(s) = ( ∞ n=0 tn An n! )( ∞ n=0 sn An n! ) = ∞ n=0 CnAn trong đó Cn = tn n! s0 0! + tn−1 (n − 1)! s1 1! + … + t0 0! sn n! = 1 n! n k=0 n! k!(n − k)! tk sn−k = 1 n! (t + s)n . Do đó T(t)T(s) = ∞ n=0 ((t+s)A)n n! = T(t + s) nên T(t) = etA là nửa nhóm. Ta có: T(t) − I = ∞ n=1 (tA)n n! ⇒ ||T(t) − I|| ≤ ∞ n=1 tn ||An || n! = et||A|| − 1 −→ 0 khi t → 0+ suy ra lim t→0+ ||T(t)−I|| = 0 nên (T(t))t≥0 liên tục đều nên nó liên tục mạnh Bổ đề 1.4. X là không gian Banach, F : Kcompact ⊂ R → L(X) .Các mệnh đề sau tương đương: (i) F liên tục đối với tô pô toán tử mạnh tức là K t → F(t)x ∈ X liên tục ∀x ∈ X. 7 8. (ii) F bị chặn đều trên K tức là: ||F(t)|| ≤ M, ∀t ∈ K và các ánh xạ K t → F(t)x ∈ X liên tục ∀x ∈ X liên tục ∀x ∈ D, D trù mật trong X. (iii) F liên tục với tô pô hội tụ trên các tập com pact của X, tức là ánh xạ KxC (t, x) → F(t)x ∈ X liên tục đều với mọi tập compact C ⊂ X. Chứng minh. (iii) ⇒ (ii) tầm thường. (i) ⇒ (ii) Vì ánh xạ t → F(t)x liên tục trên K compact nên với x cố định, x ∈ X, nó bị chặn ∀x ∈ X {F(t)x : t ∈ K} bị chặn theo Banach – steihau ta có: ||F(t)||, t ∈ K bị chặn trên R : ||F(t)|| ≤ M, ∀t ∈ K. (ii) ⇒ (iii) Giả sử ||F(t)|| ≤ M, ∀t ∈ K, ε > 0 cố định, C compact suy ra ∃x1, …, xn ∈ D sao cho: C ⊂ ∪n i=1(xi + ε M U), với U = B(0, 1) ⊂ X là hình cầu đơn vị trong X chọn δ > 0 sao cho ||F(t)xi − F(s)xi|| < ε, (i = 1, …..n) và ∀t, s ∈ K : |t − s| < δ x, y ∈ C; t, s ∈ K thỏa mãn ||x − y|| < ε M , |t − s| < δ chọn i ∈ {1, …, n} sao cho ||x − xi|| < ε M ta có: ||F(t)x−F(s)y|| ≤ ||F(t)(x−xi)||+||(F(t)−F(s))xi||+||F(s)(xi −x)||+ + ||F(s)(x − y)|| < 4ε nên ánh xạ (t, x) → F(t)x liên tục đều đối với t ∈ K, x ∈ C. Mệnh đề 1.5. Cho nửa nhóm (T(t))t≥0 trên không gian Banach. Khi đó các mệnh đề sau tương đương: (a) (T(t))t≥0 là liên tục mạnh. (b) lim t→0+ T(t)x = x, ∀x ∈ X. (c)∃δ > 0, M ≥ 1 và D ⊂ X , D trù mật trong X sao cho (i) ||T(t)|| ≤ M, ∀t ∈ [0, δ], (ii) lim t→0+ T(t)x = x, ∀x ∈ D. 8
9. Chứng minh. (a) ⇒ (c.ii) tầm thường. (a) ⇒ (c.i) với δ > 0 bất kỳ x cố định x ∈ X ánh xạ t → T(t)x liên tục trên [0, δ] suy ra { T(t)x , t ∈ [0, δ]} bị chặn ∀x ∈ X theo nguyên lý bị chặn đều (Banach- Steihau), nên ||T(t)x|| ≤ M, ∀t ∈ [0, δ], M ≥ 1 (do T(0) = I = 1). (c) ⇒ (b), giả sử {tn}n ⊂ [0, ∞), tn → 0 khi n → ∞. Đặt K = {tn, n ∈ N} ∪ {0}, Kcompact ⊂ R và T(.) K bị chặn (||T(t)|| ≤ M, ∀t ∈ K) và T(.) K x liên tục ∀x ∈ D, D trù mật trong X. Theo bổ đề 1 ta có lim n→∞ T(tn)x = x, ∀x ∈ X. Vì {tn}n ⊂ [0, +∞), tn → 0. (b) ⇒ (a), giả sử t0 > 0 và x ∈ X. Khi đó lim h→0+ T(t0 + h)x − T(t0)x ≤ T(t0) lim h→0 T(h)x − x = 0. Do đó lim h→0+ T(t0 + h)x = T(t0)x, nên T(t)x liên tục bên phải tại t = t0. Nếu h < 0 ta có T(t0 + h)x − T(t0)x ≤ T(t0 + h) x − T(−h)x nên T(t)x liên tục bên trái tại t = t0. Từ giả thiết lim t→0+ T(t)x = x, ∀x ∈ X nên tồn tại M > 1, δ > 0 sao cho với mọi t ∈ [0, δ] ta có ||T(t)|| ≤ M. (Vì nếu không ∀n = 1 n , tồn tại tn ∈ [0; 1 n ] sao cho T(tn) ≥ n. Khi đó tn → ∞ thì T(tn) → +∞, (n → +∞)). Theo Banach-Steihau tồn tại x ∈ X sao cho { T(tn)x , n ∈ N} không bị chặn, điều này mâu thuẫn với lim n→∞ T(tn)x = x. Đặt n = t0 δ ta có n ≤ t0 δ < n + 1 suy ra nδ ≤ t0 < (n + 1)δ, ∀t ∈ [0, t0], do t ≤ t0 < (n + 1)δ nên t n+1 < δ suy ra T(t) = T(n + 1). t n+1 ≤ T( t n+1 ) n+1 ≤ Mn+1 . Do đó T(t0 +h)x−T(t0)x ≤ Mn+1 x−T(−h) → 0, với t0 + h ∈ [0; t0], (h < 0) suy ra T(t0 + h) ≤ Mn+1 (h → 0) nên lim h→0− T(t0 + h)x = T(t0)x. Vậy lim h→0 T(t0 + h)x = T(t0) ⇒ (a). Mệnh đề 1.6. Mọi nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))t≥0, tồn tại hằng số 9
10. ω ∈ R và M ≥ 1 sao cho ||T(t)|| ≤ Meωt Chứng minh. Chọn M ≥ 1 sao cho ||T(s)|| ≤ M, ∀0 ≤ s ≤ 1 và t ≥ 0 ta viết t = s + n với n ∈ N, 0 ≤ s < 1. Khi đó T(t) ≤ T(s) T(1) n ≤ Mn+1 = MenlnM ≤ Meωt . ω := lnM với mỗi t ≥ 0. Bổ đề 1.7. Cho (T(t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh và x ∈ X. Ánh xạ qũy đạo ξx : t → T(t)x ∈ X. Khi đó các tính chất sau tương đương (a) ξx(.) khả vi trên R+. (b) ξx(.) khả vi bên phải tại t = 0. Định nghĩa 1.8. Toán tử A : D(A) ⊆ X → X xác định bởi Ax := ξ. x(0) = lim h→0 1 h (T(h)x − x) trên miền xác định D(A) = {x ∈ X : lim h→0 1 h (T(h)x − x) tồn tại } gọi là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))t≥0 trên không gian Banach X. Định lí 1.9. Đối với toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))t≥0 ta có: (i) A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính. (ii) Nếu x ∈ D(A) thì T(t)x ∈ D(A) và d dt T(t)x = T(t)Ax = AT(t)x, ∀t ≥ 0. (iii) ∀t ≥ 0, x ∈ X ta có t 0 T(s)xds ∈ D(A). (iv) ∀t ≥ 0 ta có: T(t)x − x = A t 0 T(s)xds nếu x ∈ X = t 0 T(s)Axds nếu x ∈ D(A). 10

MÃ TÀI LIỆU:3585

 

  • PHÍ TÀI LIỆU: 25.000
  • ĐỊNH DẠNG: WORD+PDF
  • THANH TOÁN QUA MOMO, CHUYỂN KHOẢN, THẺ CÀO ĐIỆN THOẠI (X2)
  • NỘI DUNG: MÃ TÀI LIỆU – EMAIL NHẬN ( VÍ DỤ: 0324 – trinhnam34gmailcom) có thể bỏ chữ @ mới gửi được)
  • CHECK EMAIL (1-15 PHÚT)

  • Đăng nhập MOMO
  • Quét mã QR
  • Nhập số tiền
  • Nội dung: Mã Tài liệu – Email 
  • Check mail (1-15p)

  • Mua thẻ cào chỉ Viettel,  Vinaphone
  • Mệnh giá gấp 2 phí tài liệu (vì phí nhà mạng 50%) 
  • Add Zalo 0932091562
  • Nhận file qua zalo, email

  • Đăng nhập Internet Mobile
  • Chuyển tiền
  • Nhập số tiền
  • Nội dung: Mã Tài liệu – Email
  • Check mail (1-15p)

NẾU CHỜ QUÁ 15 PHÚT CHƯA THẤY MAIL VUI LÒNG NHẮN ZALO: 0932091562

 

 

NHẬP TÀI LIỆU BẠN CẦN TÌM VÀO ĐÂY


Notice: Undefined index: hide_title in /home/cdmhewql/tailieumau.vn/wp-content/plugins/wp-google-search/wgs-widget.php on line 26

Notice: Undefined index: title in /home/cdmhewql/tailieumau.vn/wp-content/plugins/wp-google-search/wgs-widget.php on line 28

 

 

About Trang web mặc định

Check Also

Đề tài: Biện pháp nâng cao lợi nhuận tại Công ty cổ phần Đông Đô

LỜI NÓI ĐẦU 1. Tính cấpthiết của đề tài Việc chuyển mình từ nền kinh …

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *