Home / Luận văn thạc sĩ / Đề tài: Phương pháp Lyapunov và phương pháp nửa nhóm, HAY

Đề tài: Phương pháp Lyapunov và phương pháp nửa nhóm, HAY

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert 1.1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1. X là không gian định chuẩn trên trường K, tức là đối với mỗi x ∈ X có xác định một số không âm ||x||, gọi là chuẩn của x, thỏa mãn các điều kiện sau: • ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X; ||x|| = 0 ⇔ x = 0; • ||λx|| = |λ|||x||, ∀λ ∈ K, x ∈ X; • ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X. Định nghĩa 1.1.2. Không gian X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều là dãy hội tụ (tức là, nếu {xn}∞ n=1 là dãy Cauchy trong X thì tồn tại x0 ∈ X mà xn → x0(n → ∞)). Định nghĩa 1.1.3. Nếu không gian tuyến tính định chuẩn (X, ||.||) là không gian đầy đủ thì (X, ||.||) được gọi là không gian Banach. Định lý 1.1.1. (Định lý Banach-Steinhaus) Một họ bị chặn từng điểm của các phép toán liên tục tuyến tính từ không gian Banach X vào không gian định chuẩn thì bị chặn đều. Định lý này còn được gọi là nguyên lý bị chặn đều. 5
8. 1.1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.4. (Không gian tiền Hilbert) Không gian tuyến tính X xác định trên trường số thực được gọi là không gian tiền Hilbert nếu mọi x, y ∈ X, xác định một số (x, y) gọi là tích vô hướng của x và y thỏa mãn các tiên đề • Xác định dương: (x, x) ≥ 0 với ∀x ∈ X. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0. • Đối xứng: (x, y) = (y, x) với ∀x, y ∈ X. • Song tuyến tính: (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z) với ∀α, β ∈ R, ∀x, y, z ∈ X. Định nghĩa 1.1.5. (Không gian Hilbert) Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đầy đủ. 1.2 Toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.2.1. (Toán tử tuyến tính) Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính định chuẩn, toán tử A tác dụng từ không gian X vào không gian Y là được gọi là tuyến tính nếu: ∀x, y ∈ X; ∀α, β ∈ K thì A(αx + βy) = αAx + βAy. (trong đó K là trường số). Một số tính chất của toán tử 1. A0 = 0. 2. A(−x) = −Ax. 3. A(tx) = tAx ∀t ∈ R. 6
9. Định nghĩa 1.2.2. Toán tử tuyến tính A được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi dãy xn hội tụ đến x0, ta đều có Axn → Ax0 (n → ∞). Định lý 1.2.1. Nếu toán tử tuyến tính A liên tục tại điểm x0 ∈ X thì A liên tục tại mọi điểm x ∈ X. Như vậy để kiểm tra tính liên tục của toán tử tuyến tính A (trong toàn không gian) ta chỉ cần kiểm ra tính liên tục tại x = 0. Định nghĩa 1.2.3. (Toán tử tuyến tính giới nội) Giả sử X, Y là các không gian Banach. Toán tử A : X → Y được gọi là toán tử tuyến tính giới nội (bị chặn) nếu A là toán tử tuyến tính và đưa mọi tập giới nội vào tập giới nội. Xuyên suốt khoá luận này ta sẽ kí hiệu L(X) là không gian các toán tử tuyến tính giới nội trên X. Định lý 1.2.2. Toán tử tuyến tính A liên tục khi và chỉ khi nó giới nội. Định lý 1.2.3. Giả sử X, Y là các không gian Banach và A : X → Y là toán tử tuyến tính. Điều kiện cần và đủ để toán tử A giới nội là tồn tại một số c > 0 sao cho: Ax c x ∀x ∈ X. Định nghĩa 1.2.4. Giả sử X, Y là các không gian Banach. Chuẩn A của toán tử tuyến tính liên tục A : X → Y là đại lượng: A = sup x 1 Ax = sup x=0 Ax x . 1.3 Phổ của toán tử tuyến tính Giả sử X là không gian Banach. 7
10. Định nghĩa 1.3.1. Xét toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X với tập xác định D(A), trong đó D(A) là không gian vector con của X. – Điểm λ ∈ C được gọi là giá trị chính quy của A nếu (λI − A) là song ánh giữa D(A) và X đồng thời (λI − A)−1 ∈ L(X). – Tập các giá trị chính quy, ký hiệu ρ(A) được gọi là tập giải của toán tử A. – Tập hợp các điểm không phải là giá trị chính quy của A gọi là phổ của toán tử A (kí hiệu là σ(A)). Ta có σ(A) = C ρ(A). – Toán tử R(λ, A) = (λI −A)−1được gọi là toán tử giải hoặc giải thức đối với toán tử A. Nếu A là toán tử đóng thì (λI − A) cũng là toán tử đóng (do λI liên tục). Do đó nếu (λI − A)−1 tồn tại thì cũng là toán tử đóng. Suy ra nếu (λI − A) là song ánh giữa D(A) và X, A là toán tử đóng thì theo định lý đồ thị đóng (λI − A)−1 là liên tục. Vậy đối với toán tử đóng định nghĩa phổ có thể phát biểu lại là: ρ(A) = λ ∈ C : λI − A là song ánh giữa D(A) và X . σ(A) = Cρ(A) = {λ ∈ C : (λI − A) : D(A) → X không là song ánh}. Một số tính chất của phổ Định lý 1.3.1. Nếu toán tử A không có phổ là toàn mặt phẳng phức C thì A là toán tử đóng. Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại λ /∈ σ(A). Khi đó B = (λI − A)−1 ∈ L(X); B : X → D(A). Giả sử {xn}n ⊂ D(A): xn → x, Axn → y. Đặt hn = (λI − A)xn. Suy ra lim n↓∞ hn = λx − y. Vì B liên tục nên B(λx − y) = lim n↓∞ Bhn = lim n↓∞ xn = x. Suy ra x ∈ D(A). Ta có: (λI − A)x = (λI − A)B(λx − y) = λx − y. Suy ra Ax = y. Vậy A là toán tử đóng. 8
11. Mệnh đề 1.3.1. giả sử A : D(A) ⊂ X → X và B : D(B) ⊂ X → X là các toán tử tuyến tính sao cho R(λ0, A) = R(λ0, B) với λ0 nào đó thuộc C, khi đó D(A) = D(B) và A = B. Chứng minh. Thật vậy, D(A) = RangeR(λ0, A) = RangeR(λ0, B) = D(B),và với mọi x ∈ D(A) = D(B) ta có R(λ0, A)(λ0x − Ax) = R(λ0, B)(λ0x − Ax) = R(λ0, B)(λ0x − Bx) do đó λ0x − Ax = λ0x − Bx, suy ra Ax = Bx. Tiếp theo ta có phương trình giải thức sau R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A), ∀λ, µ ∈ ρ(A) Mệnh đề 1.3.2. Cho Ω ⊂ C là tập mở, {F(λ) : λ ∈ Ω} ⊂ L(X) là họ các toán tử tuyến tính thỏa mãn F(λ) − F(µ) = (µ − λ)F(λ)F(µ) ∀λ, µ ∈ Ω. Giả sử với λ0 nào đó, λ0 ∈ Ω, toán tử F(λ0) khả nghịch. Khi đó tồn tại toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X sao cho ρ(A) ⊃ Ω và R(λ, A) = F(λ) với λ ∈ Ω. Chứng minh Với mỗi λ0 ∈ Ω, đặt D(A) = RangeF(λ0), Ax = λ0x − F(λ0)−1 x, ∀x ∈ D(A). Với λ ∈ Ω và y ∈ X, phương trình giải thức λx − Ax = y tương đương với (λ − λ0)x + F(λ0)−1x = y. Suy ra (λ − λ0)F(λ)x + F(λ)F(λ0)−1x = F(λ)y. Do đó F(λ)F(λ0)−1 = (λ0 − λ)F(λ) + I. Suy ra, phương trình giải thức có nghiệm duy nhất x = F(λ)y. Vậy λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = F(λ). 9
12. 1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Ba- nach và toán tử sinh 1.4.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach Định nghĩa 1.4.1. Một họ (T(t))t≥0 của toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Banach X được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C0− nửa nhóm) nếu nó thỏa mãn phương trình hàm (FE) T(t + s) = T(t)T(s) ∀t, s ≥ 0, T(0) = I và lim t→t0 T(t)x = T(t0)x, với ∀x ∈ X Chú ý. i) Nếu (T(t))t∈R ⊂ L(X) thỏa mãn các điều kiện trên với mỗi t, s ∈ R thì ta có một nhóm liên tục mạnh các toán tử tuyến tính liên tục. ii) Trong trường hợp nửa nhóm tại t0 = 0 ta lấy giới hạn bên phải. Tiếp theo chúng ra sẽ đi tìm các điều kiện tương đương với tính liên tục mạnh. Mệnh đề 1.4.1. (xem [4], tr.38) Cho một nửa nhóm (T(t))t≥0 trên một không gian Banach X. Khi đó các tính chất sau là tương đương (i) (T(t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh. (ii) lim t↓0 T(t)x = x, ∀x ∈ X. (iii) Có một số δ > 0, M ≥ 1, và một tập con trù mật D ⊂ X thỏa mãn (a) ||T(t)|| ≤ M, ∀t ∈ [0, δ], (b) lim t↓0 T(t)x = x, ∀x ∈ D. Mệnh đề 1.4.2. (xem [4], tr.39) Cho một nửa

MÃ TÀI LIỆU:3575

 

  • PHÍ TÀI LIỆU: 25.000
  • ĐỊNH DẠNG: WORD+PDF
  • THANH TOÁN QUA MOMO, CHUYỂN KHOẢN, THẺ CÀO ĐIỆN THOẠI (X2)
  • NỘI DUNG: MÃ TÀI LIỆU – EMAIL NHẬN ( VÍ DỤ: 0324 – trinhnam34gmailcom) có thể bỏ chữ @ mới gửi được)
  • CHECK EMAIL (1-15 PHÚT)

  • Đăng nhập MOMO
  • Quét mã QR
  • Nhập số tiền
  • Nội dung: Mã Tài liệu – Email 
  • Check mail (1-15p)

  • Mua thẻ cào chỉ Viettel,  Vinaphone
  • Mệnh giá gấp 2 phí tài liệu (vì phí nhà mạng 50%) 
  • Add Zalo 0932091562
  • Nhận file qua zalo, email

  • Đăng nhập Internet Mobile
  • Chuyển tiền
  • Nhập số tiền
  • Nội dung: Mã Tài liệu – Email
  • Check mail (1-15p)

NẾU CHỜ QUÁ 15 PHÚT CHƯA THẤY MAIL VUI LÒNG NHẮN ZALO: 0932091562

 

 

NHẬP TÀI LIỆU BẠN CẦN TÌM VÀO ĐÂY


Notice: Undefined index: hide_title in /home/cdmhewql/tailieumau.vn/wp-content/plugins/wp-google-search/wgs-widget.php on line 26

Notice: Undefined index: title in /home/cdmhewql/tailieumau.vn/wp-content/plugins/wp-google-search/wgs-widget.php on line 28

 

 

About Trang web mặc định

Check Also

Đề tài: Biện pháp nâng cao lợi nhuận tại Công ty cổ phần Đông Đô

LỜI NÓI ĐẦU 1. Tính cấpthiết của đề tài Việc chuyển mình từ nền kinh …

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *